Print

Fjäderkonstanter - lång


Kort version

För att räkna ut klämkraften i ett förband krävs kännedom om skruvens och godsets styvheter. Eftersom ett skruvförband kan betraktas som ett system av sammankopplade fjädrar kan styvheterna beräknas som fjäderkonstanter, Figur 1.

Figur 1.  Fjäderkonstanter i ett skruvförband, kb och kc är fjäderkonstanter hos
             de olika fjädrarna. Förbandets förspänningsloop illustreras schematiskt
             i ett monterat förband. NOTERA att den elastiska förspänningen hos
             respektive element är kraftigt överdriven.

Figur 2. Kraft-deformationssamband för skruv respektive klämt gods.

Lutningen på de räta linjerna i kraft-deformationsdiagrammet i Figur 2 beskriver de ingående komponenternas styvheter. Genom att uttrycka kraften på komponenterna enligt ekvation 1:

samt skriva om spänningen med Hooke’s lag enligt:

där töjningen kan ses som en relativ längdförändring:

kan nu uttrycket för styvhet ges av kombinationen av ekvationerna 1 – 3:

Skruvens och de klämda komponenternas styvheter beräknas på olika sätt, vilket kommer att behandlas i de efterföljande två avsnitten.

2. Skruv

När en skruv monteras, eller är satt under extern dragbelastning, förlängs den på grund av elastisk och plastisk deformation. När det gäller bestämning av skruvens fjäderkonstant är det viktigt att känna till skruvens geometrier, där varje sektion på skruven påverkas individuellt av belastningen, Figur 3

 

Figur 3. Skruv med påkända zoner.

Skruvstammens förlängning ges av:

där:

Skruvstammens fjäderkonstant ges då av:

Ifall skruvstammen är reducerad, till exempel vevstaksskruvar, måste Ad reduceras på grund av den mindre diametern. Den relativa axialrörelsen, som leder till elastisk och plastisk deformation av de skruvgängor som är i ingrepp mot mutterns invändiga gängor, resulterar också i skruvförlängning. Den del av gängorna som är i ingrepp ger följande förlängning:

där:

Notera att tvärsnittsarean Ad3 är baserad på skruvens kärndiameter, d3.

Motsvarande fjäderkonstant ges då av:

Även kärnan i den del av skruven som är i gängingrepp kommer att påverkas av den relativa axialrörelsen. Kärnans förlängning ges av:

där:

Fjäderkonstanten ges av:

Dessutom kommer skruvhuvudet att påverkas av belastningen. Här antas skruvhuvudet vara utan fläns. Förlängningen ges av:

där:

(för skruv med utvändigt sexkantsgrepp)

(för skruv med invändigt sexkantsgrepp)

LK (index med versal) ska här inte blandas ihop med Lk (index med gemen) där den senare längden är beteckningen för skruvförbandets klämlängd, se Figur 3.

Skruvhuvudets fjäderkonstant ges av:

Den del av skruvens gängade del som är inom klämlängden kommer att förlängas enligt följande samband:

Motsvarande fjäderkonstant:

Slutligen, den totala skruvförlängningen ges av:

Eftersom en skruv och dess olika sektioner uppträder som seriekopplade fjädrar ges den resulterande fjäderkonstanten av:

3. Klämda delar

Det finns flera olika sätt att beräkna godsets eller de klämda delarnas fjäderkonstant, kc. Den mest vedertagna metoden bygger på ett cylindriskt utformat skruvförband, där de invändiga gängorna motsvarar en mutter eller ett gängat bottenhål. En viktig parameter vid bestämning av godsets fjäderkonstant är begränsningsdiametern, DA, på förbandets påkända area. Om skruvens yttre kontaktdiameter mot underlaget, dw, är mindre än DA bildas tryckspänningar som minskar radiellt ut från skruvaxeln och ut mot de klämda delarnas periferi. Eftersom de klämda delarnas belastningsområde inte upptar hela förbandet har en ersättningsarea, Aers, med tillhörande ersättningsdiameter, Ders, definierats i syfte att uppskatta den påkända arean. Totalt finns det tre olika geometriska fall att beakta, se Figur 4 samt uträkningarna a) till c).

Figur 4. Tre olika geometriska fall för godsstyvhetsberäkning.

Det finns tre olika geometriska fall, se Figur 4, att ta ställning till:

Fall a):

Fall b):

där:

(gäller för muttrar och gängade genomgående hål)

(gäller för bottenhål)

Fall c):

där:

(gäller för muttrar och gängade genomgående hål)

(gäller för bottenhål)

Den allmänna ekvationen för godsets fjäderkonstant är:

där Ec är godsets elasticitetsmodul och L är godsets tjocklek.

Ifall skruvförbandet består av två eller flera skikt av klämda delar av olika material eller olika tjocklek kommer den resulterande fjäderkonstanten att ges av:

Det finns andra alternativa beräkningsmetoder för att bestämma godsets fjäderkonstant. Här har vi valt att presentera en av de mest vedertagna metoderna. Har man tillgång till och möjlighet att beräkna godsstyvhet med hjälp av finita elementmetoden bör man göra det eftersom det ger den mest noggranna uppskattningen. 

4 Beräkningsexempel med fall b ovan

Fjäderkonstanten för två M10 förband kommer nu att beräknas. Ett med klämlängd 10 mm och ett med klämlängd 30 mm.
Vi kommer därefter räkna ut klämkraftförluster och då se vikten av en tillräcklig klämlängd för klämkraftkritiska förband.
Följande dimensioner gäller för båda klämlängderna:

dw = 14 mm
DA = 25 mm
dh = 11 mm

Underlagets styvhet

Vi börjar med underlagets styvhet och givna dimensioner ger att vi räknar enligt fall b.
Först beräknas den så kallade ersättningstvärsnittsarean ut. Enligt ekvation 24 blir den:

260 mm2 för Lk 10mm och 310 mm2 för Lk 30mm
Styvheterna blir då: 5.37 kN/µm för Lk 10 mm och 3.13 kN/µm för Lk 30 mm

Fästelementets styvhet

Fästelementets styvhet beror inte bara av stammens styvhet inom klämlängden utan också till del stammens styvhet ner i gängingreppet och upp i skruv huvudet. Vidare kommer skruvhuvudet samt mutterkroppen att också deformeras elastiskt och därmed bidra till den totala styvheten. Figur 3 ger en schematisk bild av hur förbandets styvhet består av styvheten hos alla ingående dela i en så kallad styvhets loop.
Styvhetsbidraget från huvud, mutter gängövergång samt skruvstammens förlängning ner i gängövergången ges av ekvationerna 9, 13 och 16. Som synes tillkommer här empiriskt funna koefficienter.

Fästelementets totala styvhet blir enligt ekvation 22:
0.511 kN/µm för Lk 10 mm och 0.262 kN/µm för Lk 30 mm

Hela förbandets styvhet

Förbandsloopens totala styvhet blir då:
0.466 kN/µm för Lk 10 mm och 0.262 kN/µm för Lk 30 m

Sättningsförlust

Med ursprunglig klämkraft om 25 kN (målvärde för momentmonterat 8.8 förband) och en sättning om ca 50 µm blir sättningsförlusten:

23.3 kN för Lk 10 mm förbandet och
13.4 kN för Lk 30 mm förbandet

D v s den kvarvarande klämkraften blir:

1.7 kN för Lk 10 mm förbandet och
13.4 kN för Lk 30 mm förbandet.

Slutsats

Dynamiskt höghållfasta förband ska konstrueras med en relativt lång klämlängd helst över 2d men definitivt över 1d.
Med flänsskruv och flänsmutter blir situation något bättre men för sexkantskruv och sexkantmutter utan fläns har klämlängden stor betydelse om sättning förekommer.

Uppdaterad 2020-01-02

Website administered by Jan Skogsmo, RISE IVF AB, Box 104, 431 22 Mölndal.
Tel. 010-228 46 98. E-mail jan.skogsmo@ri.se